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By Jean-Michel Ghidaglia

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Soit A une matrice 2 × 2 à coefficients réels. À quelle condition nécessaire et suffisante, existe-t-il une fonction H telle que le système différentiel d x x =A y y dt puisse se mettre sous la forme (E) ? Cette condition dépend-elle de la base choisie sur R2 ? Déterminer les fonctions H dans le cas où la condition nécessaire et suffisante est remplie. 2. Discuter l’existence de solutions de (E) lorsqu’on prescrit les données initiales x(0) = x0 et y(0) = y0 où (x0 , y0 ) ∈ R2 . 3. On dit que la fonction H vérifie (P) si pour tout C ∈ R, lorsque E C n’est pas vide, c’est un ensemble borné.

On considère une fonction u ∈ C 2 (Rn , R) vérifiant u(x) n − i=1 ∂2u (x) + ∂xi ∂xi n a j (x) j=1 0 et ∂u (x) + b(x)u(x) ∂x j 0, pour tout x ∈ V où V est un ouvert non vide et borné de Rn . 1. On désigne par ∂V la frontière de V : ∂V est le complémentaire de V dans son adhérence, ∂V = V\V. Montrer que maxx∈V u(x) maxx∈∂V u(x). 2. En déduire que s’il existe un ouvert non vide v ⊂ V tel que u(x) x ∈ ∂v alors u est nulle dans v. 3. On se donne une famille de n 2 fonctions ai j ∈ C 1 (Rn , R) et on considère une fonction u ∈ C 2 (Rn , R+ ) telle que n n − i=1 j=1 ∂ ∂xi ai j (x) ∂u (x) + ∂x j n a j (x) j=1 ∂u (x) + b(x)u(x) ∂x j 0, sur un ouvert V non vide et borné.

Soient s ∈ R+ et u 0 ∈ Rn . On note O(s, u 0 ) l’ensemble O(s, u 0 ) = {S(t)u 0 , t ∈ [s, +∞[}. Montrer que S(t)O(s, u 0 ) = O(s + t, u 0 ). 20. Montrer que l’ensemble v(u 0 ) définit par v(u 0 ) = ∩s>0 adh (O(s, u 0 )) est un compact connexe non vide de Rn (pour X ⊂ Rn , adh (X ) désigne l’adhérence de X dans Rn pour la topologie usuelle). 21. Montrer que pour v ∈ Rn , (i) et (ii) ci-dessous sont équivalents : i) ii) v ∈ v(u 0 ), il existe une suite de réels positifs (tm )m∈N vérifiant limm→∞ tm = +∞ et v = limm→∞ S(tm )u 0 .

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