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By Daniel Guin, Thomas Hausberger

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2. 1. Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne (notée multiplicativement) sur lequel est définie une relation d’équivalence R. (i) R est compatible à droite (resp. à gauche) avec la loi si, quels que soient x, y, a dans E, on a (xRy) =⇒ (xaRya) (resp. (xRy) =⇒ (axRay)). (ii) R est compatible avec la loi si elle est compatible à droite et à gauche. 1. Avec les mêmes notations que ci-dessus, R est compatible avec la loi si et seulement si ∀ x, x , y, y ∈ E, [(xRx ) et (yRy )] =⇒ [xyRx y ].

Xn yp−1 . . y1−1 appartient à H, ce qui prouve que H est un sous-groupe de G. D’où S est contenu dans H. Il est clair que tout sous-groupe de G contenant S contient H, d’où S = H. Démonstration. Notons H = { n i=1 xi , Cas particulier important. Si S = {x} pour x ∈ G, on note alors x le sous-groupe engendré par x et il est clair que x = {xn , n ∈ Z}. 2. Si la loi de G est notée additivement, on a S = {x1 + · · · + xn , n ∈ N∗ , ±xi ∈ S, ∀i, 1 i n} d’où x = {nx, n ∈ Z}. 4. Si S est une partie non vide d’un groupe G, telle que S = G, on dit que S est une partie génératrice de G, ou que S est un ensemble de générateurs de G, ou que S engendre G.

G/H)d ) l’ensemble des classes d’équivalence des éléments de G pour la relation à gauche (resp. à droite) modulo H. Ces ensembles sont aussi appelés ensembles quotients à gauche (resp. à droite) modulo H. 2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. (i) Toute classe à gauche xH (resp. à droite Hx) est équipotente à H. (ii) Les ensembles (G/H)g et (G/H)d sont équipotents. Démonstration. (i). Pour tout élément x de G, l’application H −→ xH qui à h associe xh, est évidemment bijective. (ii). Pour tout xH de (G/H)g , posons ϕ(xH) = Hx−1 , qui est un élément de (G/H)d .

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