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By Joswig Michael, Theobald Thorsten

Theobald T. Algorithmische Geometrie.. polyedrische und algebraische Methoden (de)(Vieweg, 2007)(ISBN 3834802816)

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Ohne Einschränkung sei (1) (1) (n) z = [h0 : · · · : h n ] ∩ · · · ∩ [ h0 (i) (n) : · · · : hn ] (i) mit Hi+ = [h0 : · · · : hn ]+ . Der Punkt z kann, muss aber nicht in P liegen. Um eine bessere Vorstellung von P zu gewinnen, transformieren wir P affin: Der Punkt z soll in den Ursprung verschoben werden und anschließend werden die verschobenen Hyperebenen −z + Hi in die Koordinatenhyperebenen Ei = [0 : · · · : 0 : 1 : 0 : · · · : 0] = { x ∈ R n : xi = 0} transformiert. Dabei sind E1 , . . , En so orientiert, dass E1+ ∩ · · · ∩ En+ der positive Orthant ist.

Es gilt also z ∈ Hi und q ∈ Hi+ , aber + p ∈ Hi− \ Hi , das heißt p ∈ m i = 1 Hi . 9 volldimensional ist, ist der affine Aufspann jeder Facette F eine Hyperebene H. Hat H die Form H = [ a0 : · · · : an ] und gilt P ⊆ H + , dann heißt jedes positive Vielfache von ( a1 , . . , an ) T ein innerer Normalenvektor von F und jedes negative Vielfache von ( a1 , . . , an ) T ein äußerer Normalenvektor von F. Gilt dagegen dim P < n, so gibt es unendlich viele affine Hyperebenen von R n durch jede Facette von P.

Geben Sie zwei kombinatorisch äquivalente Polytope an, die nicht durch eine affine Transformation ineinander überführt werden können. 18 Es seien F und G Seiten von P mit F ⊆ G. Dann ist F ( F, G ) := F ∈ F ( P) : F ⊆ F ⊆ G mit der durch Inklusion induzierten Halbordnung isomorph zum Seitenverband eines Polytops der Dimension dim G − dim F − 1. Beweis. 6 bereits wissen, dass Seiten von Polytopen wieder Polytope sind, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass G = P ist. Weiter sei F eine echte Seite.

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