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By René Bartsch

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Complex Numbers and Geometry (MAA Spectrum Series)

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4: Hausdorff ’scher Maximalit¨atssatz Jede nichtleere (reflexiv) halbgeordnete Menge (X, ≤) enth¨alt (mindestens) eine maximale∗ total geordnete Teilmenge. Beweis: Zun¨ achst einmal stellen wir fest, daß jede einelementige Teilmenge von X trivialerweise total geordnet ist. † Nun mag es Teilmengen von M geben, die selbst total geordnet bez¨ uglich der Mengeninklusion sind. Wenn etwa A ⊆ M eine solche, bez¨ uglich Inklusion total geordnete, Teilmenge von M ist, dann ist auch die Vereinigung A∈A A total geordnet bez¨ uglich ≤.

Berfl¨ ” ” Wir schreiben die oben genannte Menge auch als {x ∈ A| p(x)}. Ist weiterhin A eine Menge, so ist nach Axiom V auch S := A∈A A eine Menge. Nach obiger Betrachtung ist folglich auch A := {x ∈ S| ∀A ∈ A : x ∈ A} A∈A eine Menge. 2 Axiomatik 19 Bei der Definition der Potenzklasse m¨ ussen wir nun wieder etwas Vorsicht walten lassen: Da Elemente von Klassen automatisch Mengen sind, d¨ urfen wir nat¨ urlich keine Klasse zu bilden versuchen, die Unmengen als Elemente h¨atte. Die Konstruktion P(A) := {B| B ist Menge ∧ B ⊆ A} ist laut Axiom II aber m¨ oglich und die so erhaltene Klasse heißt die Potenzklasse von A.

Dann stimmen f und g auf S1 ∩ S2 u ¨ berein. Beweis: Angenommen, f und g stimmten auf S1 ∩ S2 nicht u ¨berein. Dann existierte ein kleinstes Element s0 von {s ∈ S1 ∩ S2 | f (s) = g(s)}. A. f (s0 ) < g(s0 ). Da S2 ein Schnitt und g ein Ordnungsisomorphismus ist, muß dann ein x ∈ S2 mit f (s0 ) = g(x) existieren. Da also g(x) < g(s0 ) gilt, folgt weiterhin x < s0 . Da s0 freilich das kleinste Element von S1 ∩ S2 ist, auf dem sich f, g unterscheiden, folgt f (x) = g(x) = f (s0 ) was im Widerspruch zu x < s0 steht, weil ja f ein Ordnungsisomorphismus ist.

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